On travaille sur les racines connues du polynôme . Leurs puissances s’écrivent simplement et on peut ainsi déterminer si elles sont ou non racines de P.

 

 

 

En guise de préambule notons que pour , P est le polynôme nul.  le divise.

A partir de maintenant, nous cherchons donc des valeurs non nulles de n.

 

 

Soit .

Ses racines sont :  et .

Q divise P si, et seulement si, j et  sont racines de P.

 

Pour pouvoir évaluer simplement  et , nous avons besoin de pouvoir déterminer  et .

 

Comme , les puissances de j s’expriment simplement :

 

 

Posons  et .

 

Discutons en fonction de n.

 

 Si  :

 

On a :  

D’où :  

 

 Si  :

 

On a :

 

 

• Si n est pair :  
  
• Si n est impair :  
  

 

 Si  :

 

On a :  

 

• Si n est pair :  
  
• Si n est impair :  
  

 

On a donc :  

 

A-t-on, pour ces valeurs de n,  ?

 

 

 

On a bien , donc Q divise P.

 

Finalement, Q divise P  (c’est à dire  )