On travaille sur les racines connues du polynôme . Leurs puissances s’écrivent simplement et on peut ainsi déterminer si elles sont ou non racines d’ordre 2 de P.

 

 

 

Soit .

 

En guise de préambule, remarquons que pour , P est le polynôme constant prenant la valeur 1. Pour , P est le polynôme nul et Q le divise. A partir de maintenant, nous supposons .

 

Les racines de Q sur  sont :  et . Ce sont des racines d’ordre 2 puisque l’on a : .

 

Q divise P si, et seulement si, j et  sont racines d’ordre 2 de P. C’est à dire, si l’on a :

.

 

On a : .

 

Pour pouvoir évaluer simplement , ,  et  nous avons besoin de pouvoir déterminer  et .

 

Comme , les puissances de j s’expriment simplement :

 

 

Posons , , ,  et discutons en fonction de n.

 

 

 Si  :

 

On a :  

D’où :  

 

 Si  :

 

On a :  

 

• Si n est pair :  
  
• Si n est impair :
  
  . Nous retenons ce résultat.

 

 Si  :

 

On a :  

 

• Si n est pair :  
  
• Si n est impair :
  
  . Nous retenons ce résultat.

 

On a donc :

 

 

 

Nous allons poursuivre la discussion pour chacune de ces deux possibilités :

 

 Supposons donc  (c’est à dire  )

 

Calculons  :

 

 

 

Calculons maintenant  et  :

 

 

 

Comme  on a . Etant divisible par 6,  est donc divisible par 3 et on a : .

 

D’où :  c’est à dire .

 

De façon analogue :

 

 

 

On a donc finalement, pour  : . Dans ce cas, le polynôme  divise P.

 

 Supposons maintenant  (c’est à dire  )

 

Calculons  :

 

 

 

Calculons maintenant  et  :

 

 

 

Comme  on a . C’est à dire . On a donc  et : .

 

D’où : . D’où .

 

Comme , Q ne divise pas P.