On utilise classiquement l’algorithme d’Euclide pour obtenir un PGCD de P et Q.

Dans ce qui suit, nous utilisons la notation :  pour désigner un PGCD des polynômes P et Q.

 

 

 

On commence donc par effectuer la division euclidienne de P par Q.

 

On a :

 

.

 

 

On a alors : . On effectue la division euclidienne de Q par  :

 

 

 

On a alors : . On effectue la division euclidienne de  par  (rappelons qu’avec l’algorithme d’Euclide, on peut multiplier tout reste obtenu par un scalaire non nul).

 

On a :

 

 

 

 divise  et est le dernier reste non nul obtenu.

 

Il vient donc : . C’est à dire :

 

 

 

 

Pour la suite, il est intéressant d’écrire les divisions des polynômes P et Q par D :

 

 

 

D étant un PGCD de P et Q, les polynômes  et  sont premiers entre eux.

 

Il existe donc (théorème de BEZOUT) un couple unique de polynômes U et V tels que :

 

                 (S)

 

En multipliant cette égalité par le polynôme D, on retrouve la question posée :

 

 

 

Le système (S) se résout, par exemple, en posant :

 

                      (il faut  )

             (il faut  )

 

On a alors :

 

 

 

Les deux dernières lignes nous donnent facilement :  et .

On en tire alors, avec les trois premières lignes : ,  et .

 

Finalement :