On considère l’équation :
On note ses huit racines complexes.
Calculer la somme : .
Analyse
A chaque on associe (on justifiera cette possibilité). Il convient
alors de chercher une équation dont les racines sont les … Mais puisque seule leur somme nous
intéresse, ce n’est pas toute l’équation que nous recherchons …
Résolution
n’est pas racine de l’équation initiale (on a :
). On peut donc s’intéresser à l’application f
définie par :
y ne s’annulant pas, on en tire facilement : .
L’équation initiale se récrit alors :
D’où, en multipliant par :
.
Les sont ainsi les 8 solutions de cette équation
de degré 8. Pour en déterminer la somme, nous avons besoin de deux coefficients :
celui de et celui de .
Le coefficient de vaut : .
Le coefficient de vaut : .
Le degré de l’équation étant pair, on en tire que la somme
des racine est égale à :
Finalement :
Résultat final