Nous proposons ici deux méthodes de résolution : la premières vise à obtenir les coefficients des équations cherchées en tant que sommes des racines ; La seconde consiste, plus simplement, à effectuer un changement de variable. Les longueurs des résolutions vous permettront de les comparer …

 

 

 

1^ère méthode :

 

Nous commençons par chercher une équation de degré 3 admettant comme racines ,  et .

Une telle équation est de la forme : .

 

On a alors, l’équation étant de degré impair et le coefficient de  étant égal à 1 :

 

 

 

 

 

Par ailleurs, a, b et c étant solutions de , on a :

 

 

 

 

On a alors :

 

 

 

Puis :

 

 

 

Enfin :

 

 

 

L’équation cherchée s’écrit donc :

 

 

 

 

On procède de façon analogue pour la seconde équation que nous cherchons encore sous la forme :

 

 

 

Mais on a cette fois :

 

 

 

 

 

On a alors :

 

 

 

Puis :

 

 

 

 

 

 

 

 

L’équation cherchée s’écrit donc :

 

 

 

 

2^ème méthode :

 

On effectue le changement de variable : .

 

On a alors :  

 

En élevant la première égalité au carré, on tire : , soit : .

En développant et en réordonnant on obtient finalement :

 

.

 

On a ainsi établi que si a, b et c sont solutions de , alors ,  et  sont solutions de . Or, cette équation étant de degré 3 elle n’admet pas d’autres solutions. C’est donc bien l’équation cherchée.

 

On a ainsi retrouvé l’équation obtenue grâce à la première méthode.

 

De façon similaire, pour la deuxième équation on a :

 

 

 

En élevant la première égalité au cube, il vient : .

Soit : .

Finalement, en tenant compte de  et en réordonnant, on obtient :

 

 

 

Ici encore, on a obtenu l’équation issue de la première méthode.