Un exercice intéressant où un premier résultat, à priori pas complètement évident (si ?), est ensuite appliqué. Le premier résultat fait appel à une petite « astuce » …

 

 

 

1.      On peut écrire : . Ainsi, il suffit de montrer que  divise .

 

Si P est un polynôme constant,  est le polynôme nul et le résultat est immédiat.

 

Si on suppose que P est de degré  et que l’on pose : , il vient :

 

 

 

Pour tout entier naturel k compris entre 1 et n, on a :

 

 

 

Où  est un polynôme de degré .

 

Il vient alors :

 

 

 

Le résultat est ainsi établi.

 

2.      Utilisons la résultat de la question précédente. Pour cela, il convient d’écrire  sous la forme .

 

On a :

 

 

 

Avec : .

 

On déduit de la question précédente que l’on peut factoriser  par . On a donc :

 

 

 

Le coefficient du terme de plus haut degré est simplement le coefficient de  dans le développement de , c'est-à-dire 1 : .

Le terme constant vaut 5 d’après le membre de gauche. Or, d’après le membre de droite, il vaut c. D’où : .

Enfin,  va donner comme seule puissance cube de z : . D’après le membre de droite, le coefficient de  vaut : . D’où : .

 

On a donc :

 

 

 

On obtient facilement les racines de  :  et .