Un exercice qui permet de revenir à … certains fondamentaux de l’algèbre linéaire et des formes bilinéaires symétriques (dont le produit scalaire) !

 

 

 

1.      Supposons que la famille  soit liée. L’un des vecteurs peut alors s’écrire comme combinaison linaire des autres. Pour simplifier, nous allons supposer qu’il s’agit de  :

 

 

 

La première colonne de  s’écrit alors :

 

 

 

En d’autres termes, la première colonne est combinaison linéaire des  autres colonnes (on retrouve en fait les mêmes coefficients, du fait de la linéarité du produit scalaire, que dans la combinaison linéaire des vecteurs  ).

 

On en conclut que le déterminant  est nul.

 

On a donc :  liée . C'est-à-dire :

 

 libre

 

Supposons maintenant que la famille  soit libre. Il s’agit donc d’une base de l’espace vectoriel E. Le produit scalaire étant, par définition, non dégénéré, sa matrice associée dans une base quelconque admet un déterminant non nul (plus précisément, il est strictement positif). Or ici, ce déterminant n’est rien d’autre que . On a bien :

 

 libre  

 

Finalement :

 

 

 

2.      Nous allons pouvoir tirer parti du résultat précédent en discutant de l’indépendance linéaire de la famille .

 

Si la famille  est liée alors, d’après la question précédente, on a : .

 

Par ailleurs, la famille  étant une base de E, f ne peut être bijective (car alors  serait également une base de E et, de fait, libre) et il vient : .

 

L’égalité est ici bien vérifiée.

 

 

Supposons maintenant que la famille  soit libre. Il s’agit alors d’une base de E et la matrice de l’endomorphisme f dans la base  est la matrice de passage de la base  à la base . Notons-la P.

 

Si nous notons A la matrice associée au produit scalaire  dans la base  et  la matrice associée au produit scalaire  dans la base , on a :

 

 

 

Soit, en considérant les déterminants :

 

 

 

Or :  et .

D’où le résultat.