On définit, sur :
.
1. Démontrer que est un produit scalaire ;
2. Soit l’application de
dans
définie par :
a) Montrer que est une forme linéaire ;
b) En déduire l’existence d’un polynôme A tel que :
et déterminer A.
Analyse
Un exercice construit autour d’un résultat fondamental du cours (formes linéaires sur un espace vectoriel euclidien). La dernière question est ainsi un peu calculatoire.
Résolution
1. On a immédiatement, pour tout couple de polynômes de
:
L’application est donc symétrique.
On a par ailleurs ‘linéarité de
l’intégrale), pour tout triplet de polynômes de
et pour tout couple
de réels :
L’application est donc linéaire par rapport à la première
variable. Comme elle est symétrique, elle est bilinéaire.
Pour tout polynôme P de ,
on a :
L’intégrale définie d’une
fonction (ici polynômiale) positive est positive. On a donc, pour tout polynôme
P de :
.
L’application est donc positive. Il nous reste à établir
qu’elle est définie.
Pour tout polynôme P de ,
on a :
La fonction est polynômiale et donc continue sur
.
En tant que carré, elle y est positive. L’égalité
entraîne alors
et, finalement :
.
L’application
est un produit scalaire sur
.
2. a) On a immédiatement, pour tout couple de polynômes de
et tout couple
de réels :
De surcroît, l’application est à valeurs dans
.
Il s’agit d’une forme linéaire.
b) L’application est une forme linéaire définie sur un espace vectoriel
euclidien. On en déduit l’existence d’un élément A de cet espace (c'est-à-dire
un polynôme de
) tel que :
Posons : .
Nous allons choisir divers
polynômes pour déterminer les réels a, b et c (en
l’occurrence les polynômes de la base canonique de ).
Pour :
Mais on a également : .
On en tire donc une première
relation : .
Pour :
Mais on a également : .
On en tire donc une première
relation : .
Enfin, pour :
Mais on a également : .
On en tire donc une première
relation : .
On est finalement amené à résoudre le système :
On a :
Le polynôme A est donc défini par :