Soit .
1. Montrer que est la matrice d’une forme quadratique
sur
;
2. Déterminer la
signature de en fonction du rang de A.
Analyse
Diverses situations pour s’entraîner à la mise en œuvre de la méthode de Gauss. On retrouve classiquement deux grands types de situations selon que l’expression de la forme quadratique comporte ou non un(des) carré(s). Rappelons enfin que la décomposition en carrés de formes linéaires indépendantes d’une forme quadratique n’est pas unique !
Résolution
1. Nous remarquons dans un premier temps que la matrice et une matrice carrée d’ordre p.
On a immédiatement : .
La matrice est donc symétrique d’ordre p et est,
de fait, la matrice d’une forme quadratique définie sur
.
Pour tout U de ,
il vient alors :
Finalement :
La
matrice est la matrice d’une forme quadratique
positive sur
.
2. Puisque est positive, sa signature est de la forme
où r désigne le rang de
,
c'est-à-dire le rang de la matrice
.
Notons u l’application
linéaire de dans
canoniquement associée à la matrice A et v
l’endomorphisme de
canoniquement associée à la matrice
.
Soit alors un vecteur de
représenté par la matrice colonne X de
.
On a immédiatement :
Réciproquement :
En définitive : ,
soit :
Le théorème du rang nous permet alors d’écrire :
Finalement :
La
signature de est égale à :
.