C’est un exercice d’application directe du cours : un produit scalaire est une forme bilinéaire, symétrique définie et positive.

 

 

 

 

La bilinéarité ne pose pas de difficulté particulière et résulte fondamentalement de la distributivité de la multiplication sur l’addition dans .

 

A quelle condition a-t-on la symétrie ?

Soit  et  deux couples quelconques dans E. On a :

 

 

Cette égalité devant en particulier être valable pour les couples  et , on en tire . On constate alors qu’avec  on a bien  pour tous couples  et  dans E.

 

Dorénavant, nous supposons cette condition satisfaite.

 

On a : .

 

Si , alors  et on peut facilement trouver x et  tels que  soit strictement négatif. Dans ce cas, la forme bilinéaire  n’est pas positive et ne peut être un produit scalaire.

 

Supposons donc . Il vient alors :

 

 

En choisissant , cette expression est positive si, et seulement si,  (rappelons que nous avons supposé a non nul). Par ailleurs, en choisissant x et  tels que , l’expression sera positive si, et seulement si : , soit : .

 

La forme  est donc symétrique et positive si, et seulement si  et  et .

 

On a enfin :

 

 

L’égalité  équivaut à .

 

On a alors deux possibilités.

 

Si , on a  et la forme s’annule pour une infinité de couples. Elle n’est pas définie.

 

Si , il vient  et on a : . Dans ce cas, la forme est définie.

 

En définitive, la forme  est un produit scalaire si, et seulement si :