Un exercice un peu calculatoire qui constitue, de fait, un excellent entraînement, ce genre de calcul intervenant assez fréquemment dans la construction de bases orthonormales !

 

 

 

 

Nous allons chercher une base étagée orthonormée de E :  où le polynôme  est donc de degré i.

 

Remarque : dans les calculs qui suivent, on est amené à calculer des intégrales de fonctions polynômes sur l’intervalle . Cet intervalle étant symétrique, l’intégrale d’un monôme de degré impair sera donc nulle. Dans ces calculs, on ne retiendra donc que les monômes de degrés pairs.

 

 

Le polynôme  est un polynôme constant : . Nous pouvons d’ores et déjà déterminer a de telle sorte qu’il soit unitaire.

 

On a : .

On peut ainsi choisir :  et on a : .

 

Cherchons maintenant .

On veut que  et  soient orthogonaux :

 

 

On a alors :

 

 

On peut ainsi choisir :  et on a : .

 

Cherchons maintenant .

On veut que  et  soient orthogonaux :

 

 

On a donc : .

On veut également que  et  soient orthogonaux :

 

 

On a donc : .

On a alors :

 

 

On peut ainsi choisir :  et on a : .

 

Cherchons maintenant .

On veut que  et  soient orthogonaux :

 

 

On a donc : .

 

On veut également que  et  soient orthogonaux :

 

 

On a donc : .

 

On veut enfin que  et  soient orthogonaux :

 

 

On a donc : .

 

On a alors :

 

 

On peut ainsi choisir :  et on a : .

 

En définitive :