Soit x et y
deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien .
On note la norme associée au produit scalaire
.
Montrer l’égalité :
Analyse
Un exercice simple et essentiellement calculatoire mais qui a étonnamment dérouté plus d’un(e) élève en colle ... Bien sûr, l’écriture x.y voire xy pour le produit scalaire des vecteurs x et y simplifie l’écriture du calcul mais elle peut également conduire l’élève a écrire … n’importe quoi (via, des factorisations abusives par exemple) ! On se montrera donc prudent …
Résolution
Les quantités à comparer étant positives, on peut comparer leurs carrés.
On a immédiatement : .
Par ailleurs :
On a ainsi établi l’égalité des carrés et on en déduit le résultat cherché.