Soit un espace préhilbertien réel.
Soit f et g deux applications de E dans E vérifiant :
Montrer que f et g sont linéaires.
Analyse
Dans cet exercice on utilise conjointement la linéarité du
produit scalaire et l’hypothèse fondamentale donnée sur f et g. La
conclusion requiert d’utiliser le résultat classique : .
Résolution
Nous allons raisonner sur f, la démonstration pour g étant tout à fait similaire.
Pour tout dans
et tout
dans
,
on a :
En définitive, on a :
Soit :
Cette égalité étant valable pour tout y, on en tire (le vecteur nul est le seul vecteur orthogonal à tout vecteur de E) :
L’application est bien linéaire, c’est un endomorphisme de E.