Soit E un espace euclidien.
1. On définit
l’application f sur par :
Montrer que pour tous vecteurs x et y non nuls de E, on a :
2. Pour tous vecteurs a, b, c et d de E, établir l’inégalité de Ptolémée :
Indication : on se ramènera au cas où a est nul et on utilisera l’application f.
Analyse
La première question est très classique (inversion). Dans la seconde, on suit l’indication pour se ramener à une inégalité plus simple ne comportant que 3 vecteurs et qui se démontre facilement grâce à f.
Résolution
Question 1.
Pour tout vecteur x et y non nuls de E, on a :
Par ailleurs :
On en déduit : puis, finalement :
Question 2.
Pour ,
l’inégalité à démontrer s’écrit :
Or, si on pose, dans le cas
général : ,
et
,
l’inégalité à démontrer se récrit :
Ainsi, il nous suffit donc de démontrer l’inégalité :
Si ,
on a :
et
.
L’inégalité est trivialement vérifiée.
Le cas est similaire au précédent, les vecteurs b
et d jouant des rôles symétriques.
Si ,
on a :
et
.
L’inégalité est encore vérifiée.
On va donc supposer : ,
et
.
On a : et, de façon analogue :
On a (inégalité triangulaire) :
D’où :
C'est-à-dire :
Il s’agit de l’inégalité correspondant au cas et à laquelle le cas général se ramène.
En définitive, pour tous vecteurs b, c et d, on a l’inégalité :