Soit muni du produit scalaire usuel.
Soit n réels non tous nuls.
Soit
Déterminer la matrice, dans
la base canonique de , de la projection orthogonale
sur H.
Analyse
L’exercice se traite assez facilement dès lors que l’on
remarque que H est (comme son nom l’indique ? )
un hyperplan …
Résolution
Notons la base canonique de
.
Pour tout entier naturel i dans ,
on a donc :
.
Nous notons p la projection orthogonale sur H.
Remarquons que H est le noyau de la forme linéaire :
Il s’agit donc d’un hyperplan de .
Posons alors :
qui est non nul. On a immédiatement :
et pour tout vecteur
dans
,
on a :
Pour tout vecteur de
,
on a alors :
.
D’où :
On a : et
.
D’où :
.
Comme : ,
on a finalement :
.
étant le symbole de Kronecker.
La matrice P de la projection orthogonale p est donc :
Résultat final
Pour
,
la matrice P de la projection orthogonale p sur l’hyperplan
est :