Classiquement, dans la première question, on construit une base orthogonale que l’on normalise ensuite. Pour la deuxième question, on dispose facilement de l’orthogonal de H sur lequel on projette le polynôme X.

 

 

 

 

Question 1.

 

Notons, dans un premier temps, que H est le noyau de la forme linéaire  définie par :

 

 

Nous avons donc affaire à un hyperplan de E.

 

Notons par ailleurs que la condition  équivaut à écrire que la somme des coefficients de P est nulle.

 

Enfin, pour tout P de H tel que , on a : .

 

 

Nous allons maintenant construire une base orthogonale  de H en en cherchant une base étagée.

 

Le seul polynôme constant de H est le polynôme nul. La base  ne contient donc pas de polynôme constant.

 

Cherchons un polynôme du 1^er degré : . La somme de ses coefficients devant être nulle, on peut choisir : .

 

Ensuite, on cherche un polynôme du 2^ème degré : .

La somme de ses coefficients doit être nulle et on doit avoir : , c'est-à-dire : . On peut alors simplement choisir : .

 

On construit ainsi la base  comportant n polynômes  tels que :

 

 

Par ailleurs : .

D’où : .

 

Finalement :

 

 

 

Question 2.

 

Nous avons vu ci-dessus que H était le noyau de la forme linéaire .

E étant un espace vectoriel euclidien, il est isomorphe à son dual et nous savons qu’il existe un polynôme  tel que :

 

 

Mais pour tout P de H défini par : , on a :

 

 

On en déduit immédiatement : .

 

On a alors simplement : .

 

D’où, finalement :