On considère l’espace vectoriel et un élément a de
.
Soit alors l’endomorphisme f défini par :
Déterminer les valeurs propres de f et les vecteurs propres associés.
Analyse
Travaillant en dimension finie ( ), on peut s’intéresser aux images par f
des vecteurs de … la base canonique de
.
Résolution
Considérons donc la base canonique de
.
On a aisément : et pour tout entier naturel k dans
:
On en déduit la matrice de l’endomorphisme f dans la base
canonique de
:
On a donc affaire à une matrice triangulaire supérieure. Ses valeurs propres sont ses éléments diagonaux. D’où :
L’endomorphisme f admet donc valeurs propres distinctes : chaque
sous-espace propre est une droite vectorielle.
Soit le sous-espace propre associé à la valeur
propre k et soit P un polynôme non nul de
.
P vérifie donc : ,
c'est-à-dire :
.
On en tire (par exemple en résolvant l’équation équation
différentielle ) :
où C est un élément quelconque de
.
Finalement :
Résultat final
L’endomorphisme
de défini par :
admet
les valeurs propres : 0, 1, 2, …, n. et les espaces propres
associés sont les droites vectorielles engendrées par les polynômes .