On peut raisonnablement se lancer le calcul du polynôme caractéristique et en chercher les racines. Pour autant, la cyclicité des éléments de la matrice conduit, si on revient à la définition de la valeur propre, à un système qui permet rapidement de calculer une première valeur propre … Nous développons ces deux approches.

 

 

 

1^ère approche

 

 

 

En développant, par exemple, suivant la première colonne, on obtient :

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 

Le polynôme caractéristique possédant trois racines distinctes et l’espace vectoriel considéré étant de dimension 3, on en conclut immédiatement que la matrice A est diagonalisable.

 

Déterminons les espaces propres associés aux valeurs propres 6,  et .

 

 Détermination de .

 

Soit  un vecteur propre associé à la valeur propre 6.

On doit résoudre :

 

 

 

Soit :

 

 

 

On constate rapidement que la première ligne est, au signe près, obtenue en additionnant les deux autres lignes du système. On a donc :

 

 

 

La deuxième ligne donne : .

En remplaçant dans la première ligne il vient alors : , soit : .

Finalement : .

Il vient alors : .

 

En définitive :

 

 

 

 Détermination de .

 

Soit  un vecteur propre associé à la valeur propre .

 

On doit résoudre :

 

 

 

Soit :

 

 

 

La troisième ligne donne : . La première ligne se récrit alors :

, soit : .

Alors : .

Puis : .

On constate alors que la deuxième égalité est vérifiée :

 

 

En définitive :

 

 

 

 

 Détermination de .

 

On procède comme précédemment : soit  un vecteur propre associé à la valeur propre .

 

On doit résoudre :

 

 

 

Soit :

 

 

 

La troisième ligne donne : . La première ligne se récrit alors :

, soit : .

Alors : .

Puis : .

On constate alors que la deuxième égalité est vérifiée :

 

 

En définitive :

 

 

 

Finalement, la matrice A est diagonalisable et il vient, en notant D la matrice diagonale associée et P la matrice de passage obtenue à l’aide des vecteurs de base des espaces propres obtenus ci-dessus :

 

 et  

 

 

2^ème approche

 

Soit  un vecteur propre associé à la valeur propre .

 

On doit résoudre :

 

 

 

En additionnant ces trois égalités membre à membre, on obtient :

 

 

 

On a deux possibilités :

 

• 
  
   alors nécessairement
  
  . Cette remarque ne nous donne pas de candidat comme valeur propre mais nous donne un élément de vérification quant au résultats précédemment obtenus sur les valeurs propres
  
   et
  
   : les espaces propres associés sont tous deux engendrés par des vecteurs dont les coordonnées vérifient bien
  
  .

 

• 
  
  . Ce premier candidat s’avère effectivement être une valeur propre dont on détermine l’espace propre associé comme précédemment. Ensuite, on a nécessairement (cf. la première situation)
  
  , soit
  
  .

Le système se récrit alors :

 

 

 

Soit :

 

 

 

La troisième ligne est, au signe près, la somme des deux premières. On a donc :

 

 

 

Le système formé des deux premières lignes admet une infinité de solutions si, et seulement si, son déterminant est nul. C'est-à-dire : , soit : .

On retrouve ainsi les deux autres valeurs propres …