On démontre chaque sens de l’équivalence. L’exercice fait appel aux connaissances de base relatives à la diagonalisation.

 

 

 

 

 

On suppose donc ici :  

 

Notons n la dimension de E. Comme , le théorème du rang nous donne : .

 

Supposons alors que l’endomorphisme f admette une valeur propre non nulle .

 

Par définition, il existe un vecteur propre a non nul associé à  : .

Le vecteur  appartient à  qui est inclus dans  par hypothèse.

On a donc : , soit : . Comme  est non nulle, on en tire , c'est-à-dire . En d’autres termes, a est vecteur propre associé à la valeur propre 0, ce qui est absurde puisque deux espaces propres associés à des valeurs propres distinctes admettent comme intersection le vecteur nul.

 

Finalement, l’endomorphisme f admet comme seule valeur propre 0.

Comme , on en déduit finalement que f n’est pas diagonalisable.

 

Remarque : l’hypothèse  n’est pas utilisée à proprement parler. On a seulement besoin ici de  et  pour pouvoir conclure …

 

 

 

Comme , il existe un vecteur a non nul tel que : .

Pour établir , il suffit de montrer que .

 

Supposons alors : .

Comme  appartient à  et , il existe un scalaire  non nul tel que : . En d’autres termes,  est valeur propre de f de vecteur propre associé a.

On en déduit : .

 

Finalement, f admet deux valeurs propres, 0 et  avec  et . L’endomorphisme f est ainsi diagonalisable, ce qui est absurde.

 

Finalement, on a bien , d’où : .