Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f
un automorphisme de E tel que
est diagonalisable.
Montrer que f est diagonalisable.
Analyse
On s’appuie sur le résultat général relatif au polynôme
minimal d’un endomorphisme diagonalisable, le polynôme minimal de f
s’obtenant simplement à partir de celui de .
Résolution
Notons les valeurs propres de
.
Puisque f st un automorphisme de E, il en va de même pour
.
On a donc :
.
Notons le polynôme minimal de
.
Il s’écrit :
étant un polynôme annulateur de
,
on a :
,
soit :
.
Notons alors et
les racines de
.
On a :
Soit alors Q le polynôme défini par : .
Le polynôme Q est scindé à racines simples. Il est de surcroît unitaire. On en déduit que l’automorphisme f est diagonalisable et que Q est son polynôme minimal.