Polynôme annulateur, polynôme minimal, théorème de décomposition des noyaux sont les principaux ingrédients d’un exercice d’un type assez classique mais qui reste un peu délicat.

 

 

 

Notons E le  espace vectoriel considéré.

 

On peut, dans un premier temps, traiter rapidement le cas .

Dans ce cas, le rang de A est nul. Il est bien pair.

 

Supposons donc à partir de maintenant : .

 

Soit P le polynôme de  défini par : . Par hypothèse, il s’agit d’un polynôme annulateur de A. On a : .

Les polynômes Q et R définis par :  et  sont premiers entre eux.

 

Notons  l’endomorphisme de matrice A dans une base de E. Le théorème de décomposition des noyaux nous permet d’écrire :

 

 

 

On a immédiatement, d’après le théorème du rang : . On peut donc indifféremment raisonner sur  ou sur .

 

Notons .

Le polynôme R est un polynôme annulateur de la restriction  de  à F et c’est même son polynôme minimal puisqu’il est unitaire et irréductible (on travaille ici sur un  espace vectoriel).

 

Supposons que  soit de dimension impaire. Alors le polynôme caractéristique de  est de degré impair (c’est la dimension de  ). Il admet donc une racine réelle  qui est également racine de son polynôme minimal R. Or celui-ci n’admet pas de racine réelle. On en tire donc que la dimension de  est paire.

Finalement, le rang de  est pair.

 

 

 

Remarque : on a certes , mais pour tout vecteur  de , on a : .

D’où : , puis, ces sous-espaces ayant la même dimension :

 

 

 

O montrera de façon analogue :