L’une des difficultés de cet exercice provient du fait que nous sommes en dimension infinie et que les vecteurs considérés sont des suites réelles. En revenant à la définition d’une valeur propre, on parvient à engager la discussion …

 

 

 

 

Soit  une valeur propre de f et u un vecteur propre associé à  (gardons présent à l’esprit le fait que u est une suite réelle).

 

Par définition, nous avons : .

Soit : .

C'est-à-dire : .

Soit enfin :

 

 

 

On obtient ainsi une infinité d’égalités :

 

 

 

La première égalité nous conduit à distinguer deux cas :  ou .

 

Pour , la première égalité est vérifiée pour toute valeur de .

La deuxième égalité fournit alors : , la troisième .

On calcule ainsi, de proche en proche,  et on obtient (faites-le en menant une récurrence !) :

 

 

Ainsi  est une valeur propre de f d’espace propre associé la droite vectorielle engendrée par la suite .

 

En posant , on est conduit à discuter cette fois au niveau de la deuxième égalité qui se récrit : . On va devoir distinguer les deux cas :  ou .

 

Pour , la seconde égalité est vérifiée pour toute valeur de .

La troisième égalité fournit alors, en tenant compte de  : .

Soit : .

On établit ensuite :  et, plus généralement (ici encore, une récurrence s’impose !) pour n entier supérieur ou égal à 2 : .

Les choses s’avèrent très intéressantes car cette expression redonne  lorsque l’on prend .

 

Ainsi, on peut conclure que  est une valeur propre de f d’espace propre associé la droite vectorielle engendrée par la suite  (le facteur 2 a été supprimé pour que l’expression du vecteur engendrant la droite soit plus simple).

 

En posant , on est conduit à discuter cette fois au niveau de la troisième égalité qui se récrit : . On va devoir distinguer les deux cas :  ou .

 

Pour , des calculs similaires aux précédents nous conduisent à une droite vectorielle engendrée par le vecteur .

 

Plus généralement, nous pouvons conjecturer que le sous-espace propre associé à la valeur propre  (  ) est la droite vectorielle engendrée par le vecteur :

 

 

 

Nous cherchons à établir : , soit :

 

 

 

Soit encore :

 

 

 

Rappelons que les  premiers termes de cette suite sont nuls : .

 

Pour tout entier naturel n dans , on a donc : .

 

Pour tout n supérieur ou égal à k on peut écrire :

 

 

 

Or, on remarque que l’on a :

 

 

 

Et :

 

 

 

L’égalité  se récrit alors :

 

.

 

Soit, finalement :

 

 

 

Cette égalité est immédiatement vérifiée pour  (  ).

 

Supposons maintenant que l’égalité  soit vraie au rang n.

 

Au rang , on a :

 

 

 

L’égalité est donc vérifiée au rang  et on peut conclure :

 

Pour tout entier n supérieur ou égal à k, on a :

 

 

 

 

En définitive, pour tout entier naturel n non nul, on a :

 

 

 

Pour tout entier naturel k dans , l’endomorphisme f admet pour valeur propre  et l’espace propre associé est la droite vectorielle engendrée par le vecteur u défini par :