Une fois n’est pas coutume, nous disposons d’un « candidat » pour le polynôme minimal ! Notre attention doit assez naturellement se porter sur les racines de ce polynôme …

 

 

 

 

On peut remarquer, après avoir essayé (sans succès !) quelques valeurs réelles simples, que i est racine de P.

 

On peut également s’intéresser au seul coefficient de P différent de 1 et constater que l’on a :

 

 

Or, on a aussi :

 

 

Il vient donc :

 

 

Le polynôme P n’admet donc pas de racines réelles.

 

Tout polynôme caractéristique d’une matrice A de  est de degré 5 et admet donc au moins une racine réelle. Or, cette racine réelle, en tant que valeur propre de la matrice A est aussi racine du polynôme minimal de A. Cette racine ne pouvant être racine du polynôme P (nous venons de voir qu’il n’admet pas de racine réelle), ce dernier ne peut être polynôme minimal de la matrice A.