Analyse

Une situation très générale et à connaître ! Un exercice où il convient de ne pas se précipiter et, au contraire, de passer un peu de temps à observer la structure de la matrice proposée.

Résolution

En guise de préambule, remarquons que l’on a :

Soit :

Interprétons la matrice M comme celle d’un endomorphisme d’un -espace vectoriel (de dimension n) dans une base .

L’observation des colonnes de M nous conduit à poser : et il vient :

Question 1.

D’après ce qui précède, nous devons distinguer deux situations :

On a donc et M est la matrice nulle de .

On a immédiatement :

D’après , on a : et donc :

Question 2.

Dans ce cas, on a classiquement : .

D’après la question précédente, on a, dans ce cas, et donc (théorème du rang) : (éventuellement nulle si ) qui est la dimension de l’espace propre .

Par ailleurs, comme , il vient :

Comme , le réel est donc non nul ici. Le vecteur étant lui aussi non nul, on en déduit que la matrice M admet le réel comme valeur propre.

On a immédiatement : de dimension égale à 1.

En définitive, la matrice M admet deux valeurs propres : 0 et et les dimensions des espaces propres associés sont et 1 égales aux ordres de multiplicité des racines du polynôme caractéristique . Le coefficient de étant égal à , il vient immédiatement :

Remarque : cette expression reste valable lorsque , c'est-à-dire (et donc ).

Question 3.

Dans tous les cas, les dimensions des (de l’) espaces propres sont égales aux ordres de multiplicité des (de la) racines du polynôme caractéristique. On en déduit immédiatement :

La matrice M est diagonalisable.

Dans une base de vecteurs propres (dont , s’il est non nul, serait le premier vecteur), la matrice diagonale obtenue sera :

Remarque : en algèbre bilinéaire, on établit le résultat fondamental suivant :

Toute matrice réelle symétrique est diagonalisable.

Ainsi, en ayant noté que la matrice M était réelle symétrique et en disposant de ce théorème, on aurait directement pu répondre à la troisième question …