La structure de la matrice permet d’obtenir son polynôme caractéristique sans calculer directement . On obtient alors facilement le polynôme minimal de A qui permet d’affirmer que la matrice A est diagonalisable sur .

 

 

 

 

Question 1.

 

On a :

 

 

 

 

 

Question 2.

 

Pour tout x réel, on a d’abord immédiatement :

 

 

Par ailleurs :

 

 

D’où :

 

 

On obtient alors :

 

 

 

 

 

En considérant alors les déterminants, il vient :

 

 

Mais on a : .

On en déduit : .

 

L’égalité ci-dessus se récrit donc : .

Soit : .

 

A la question précédente, on a établi : . Or, . On en déduit finalement :

 

 

 

 

 

Question 3.

 

Dans , le polynôme  admet pour racines  et .

 

Les polynômes  et  ne sont pas des polynômes annulateurs de A.

 

En revanche, on a :

 

 

Le polynôme P est donc le polynôme minimal de A. Il est scindé à racines simples dans . On en déduit que A est  diagonalisable.