La détermination de la matrice de u ne pose pas de difficulté particulière. Sa structure, simple, permet d’en obtenir les valeurs propres ou, de façon équivalente, le polynôme caractéristique et ses racines. On peut alors répondre à la question 2.

 

 

 

 

Question 1.

 

Notons A la matrice cherchée.

 

On a :

 

 

Et :

 

 

Et :

 

 

Plus généralement, pour , on a :  et .

D’où :

 

 

Ainsi, pour , par exemple, on obtient : .

Plus généralement, pour ,  est, dans la base canonique , un vecteur dont seules 3 coordonnées sont non nulles.

 

On a immédiatement :

 

 

 

Comme , la matrice ainsi obtenue est triangulaire supérieure.

 

 

Question 2.

 

La matrice obtenue à la question précédente étant triangulaire supérieure et ses éléments diagonaux valant, pour i dans  :

 

 

On en déduit immédiatement le polynôme caractéristique de u :

 

 

Il admet  racines simples distinctes qui sont les éléments diagonaux de A.

 

Le polynôme caractéristique de A est un polynôme annulateur de u (théorème de Cayley-Hamilton). Il est ici scindé à racines simples : on en déduit ainsi que l’endomorphisme u est diagonalisable.