Soit E espace
vectoriel normé et A et B deux parties de E.
On suppose que A est
compacte et B fermée.
On considère l’ensemble 
.
Montrer que est un fermé.
Analyse
On part de la définition séquentielle d’un fermé en se
donnant une suite convergeant de .
Dès lors, la compacité de A s’avère déterminante …
Résolution
Soit une suite convergente de .
Soit l sa limite.
Par définition de l’ensemble ,
on peut écrire :
La suite est une suite d’éléments de A partie
compacte de E. Il existe donc suite extraite de qui converge dans A. Notons a sa
limite.
Considérons désormais la suite .
Il s’agit d’une suite extraite de la suite .
Elle converge donc également vers l.
Comme on a : ,
on en déduit que la suite converge vers .
Or B est une partie fermée de E. Donc .
Finalement : .
La limite de la suite est bien un élément de .
Cette partie de E est bien fermée.