On établit le résultat en deux temps. On commence par montrer que la suite  est convergente, de limite . On s’intéresse alors à la boule fermée  (où  ).

 

 

 

La suite  étant décroissante, on a, pour tout entier naturel p supérieur à n :

 

 

 

On a donc :  (remarquons que l’on a l’équivalence, en supposant  : . Ce résultat sera à nouveau utilisé plus loin et est proposé en exercice dans la rubrique « Espaces vectoriels normés »).

 

La suite  étant, par hypothèse, convergente elle est de Cauchy. On a donc :

 

 

 

L’inégalité obtenue ci-dessus nous permet alors d’écrire immédiatement :

 

 

 

La suite  est donc une suite de Cauchy d’éléments de E. Or, par hypothèse, E est complet. On en déduit que la suite  est convergente. Notons alors  sa limite.

 

Nous nous intéressons désormais à la boule fermée  et allons montrer :

 

 

Nous allons procéder par double inclusion.

 

Soit  un élément de .

On a donc : . C'est-à-dire : .

L’application  étant continue de E dans , on a :  et on peut passer à la limite dans l’inégalité précédente : , c'est-à-dire .

 

On a ainsi établi : .

 

Soit maintenant un entier naturel n fixé quelconque.

Pour tout entier naturel p supérieur à n, on a : .

D’où : .

En faisant tendre alors p vers , il vient : .

On en déduit : .

L’inclusion obtenue est valable pour un entier naturel n quelconque.

D’où: .

On en tire :  

 

Le résultat est ainsi établi.