Soit 
un espace vectoriel normé.
Montrer que les deux propositions suivantes sont
équivalentes :
(i)
E est complet ;
(ii)
Tout
suite d’éléments de E vérifiant :
est convergente.
Analyse
L’implication ne pose pas de grosse difficulté : on
montre qu’une suite vérifiant est de Cauchy et, de fait, converge, l’espace E
étant complet.
La réciproque est un peu plus délicate. De façon générale,
une suite de Cauchy n’a aucune raison, à priori, de vérifier .
En revanche, une suite extraite judicieusement construite …
Résolution
On suppose donc ici que l’espace E est complet.
Soit alors une suite d’éléments de E
vérifiant : .
Nous allons montrer qu’une telle suite converge. Pour ce
faire, il suffit, E étant complet, d’établir qu’une telle suite est une
suite de Cauchy.
Soit alors p un entier naturel et q un entier
naturel non nul.
On a :
La quantité ne dépend pas de q et peut être rendue
arbitrairement petite.
Par exemple, en fixant ,
on a :
On choisit par exemple : .
On en déduit que la suite est une suite de Cauchy. L’espace E
étant complet, cette suite converge.
Nous supposons maintenant que toute suite vérifiant est convergente.
Pour démontrer que l’espace E est complet, nous
allons considérer une suite de Cauchy. Pour établir qu’elle converge, il
nous suffit de construire une suite extraite de vérifiant la condition ci-dessus. Ainsi, la
suite admettra une valeur d’adhérence et …
convergera donc !
La suite étant une suite de Cauchy, on a, par
définition :
Pour tout ,
il existe un entier naturel tel que pour tout entier naturel p supérieur
ou égal à et pour tout entier naturel non nul q :
En particulier pour ,
il existe un entier tel que pour tout entier naturel non nul q :
On peut alors poser : .
Pour ,
il existe un entier ,
que l’on peut choisir strictement supérieur à ,
tel que pour tout entier naturel non nul q :
Comme ,
on a : .
On pose alors : et on a donc : .
Pour ,
il existe un entier ,
que l’on peut choisir strictement supérieur à ,
tel que pour tout entier naturel non nul q :
Comme ,
on a : .
On pose alors : et on a donc : .
On construit ainsi une suite extraite de et vérifiant :
Par hypothèse, une telle suite converge. Sa limite est une
valeur d’adhérence de la suite .
Or, une suite de Cauchy admettant une valeur d’adhérence
converge vers cette valeur.
La suite est donc convergente.
Résultat final