Soit E et F deux espaces vectoriels normés.
Soit f une application continue de E dans F.
Soit une suite décroissante de compacts de E.
Montrer que :
Analyse
On procède par double inclusion en notant que l’une d’elle
est générale et ne dépend en rien des hypothèses faites sur les …
Résolution
Soit y un élément de .
Il existe donc x élément de tel que :
.
On a : .
Alors :
On a donc : .
C'est-à-dire :
Il convient maintenant d’établir l’autre inclusion.
Soit y un élément de .
On a donc : .
Nous exploitons maintenant la suite .
Puisque la suite est décroissante, on a :
.
La suite est donc une suite d’éléments du compact
.
On peut donc en extraire une suite
qui converge vers un élément l de
.
Par définition de la suite ,
l’élément
appartient au compact
.
On en déduit alors que la suite
est une suite d’éléments de
.
Celui étant compact, il est fermé et il vient immédiatement :
.
La suite étant décroissante, on a :
.
D’où :
Poursuivons …
L’élément appartient au compact
(rappelons que l’application
est strictement croissante). On en déduit
alors que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :
.
D’où : .
La suite étant décroissante, on a :
.
D’où :
En poursuivant le raisonnement, on établit par récurrence :
En faisant tendre n vers (rappelons que l’on a :
), il vient alors :
Il vient alors :
On a : .
En passant à la limite et en tenant compte de la continuité de f on en conclut :
En définitive : .
On a ainsi établi : .
Soit :
Les deux inclusions obtenues fournissent le résultat demandé.
Résultat final
Si
f est une application continue d’un espace vectoriel normé E dans
un espace vectoriel normé F et si est une suite décroissante de compacts de E
alors :