Soit A une matrice réelle carrée d’ordre n.
On suppose que l’on a :
et
.
Montrer que A est la matrice nulle.
Analyse
On peut ici considérer que la matrice A est la matrice, dans une base orthonormale, d’un endomorphisme autoadjoint. Il convient alors de montrer que cet endomorphisme est l’endomorphisme nul.
Résolution
Supposons donc que A soit la matrice associée à un endomorphisme autoadjoint dans une base orthonormale B d’un espace vectoriel euclidien E.
Puisque u est autoadjoint, on a : .
En particulier, pour tout vecteur y de Imu, il
existe un vecteur tel que
et donc
.
On a donc :
On en déduit alors que le vecteur y appartient à .
Or,
.
Donc .
En définitive : et u est l’endomorphisme nul de E.
A est bien la matrice nulle.
Remarque : on être encore plus « direct » en
choisissant : .
On a alors, pour tout vecteur x de E :
On a donc : et on retrouve :
.
Résultat final
Si A est une
matrice réelle symétrique d’ordre n vérifiant et
alors A est la matrice nulle.