Soit E un espace vectoriel euclidien.
Soit f et g deux endomorphismes autoadjoints de E.
Montrer que est un endomorphisme autoadjoint de E si, et
seulement si
.
Analyse
Un exercice très simple qui fait appel à une propriété de l’adjoint (adjoint d’une composée).
Résolution
On a la propriété classique : .
Les endomorphismes f et g étant autoadjoints,
on a : et
.
On en tire alors : .
Dans ces conditions :
endomorphisme autoadjoint de E
Le résultat est ainsi établi.