Les « Σ » peuvent faire penser rapidement à la trace …

A défaut, on peut se demander d’où « sort » la première somme et rapidement penser (somme de carrés) au carré de A.

 

 

 

Notons : . On a : .

Il vient alors, pour tout entier i compris entre 1 et n :

 

 

 

D’où : .

 

Le membre de gauche de l’égalité cherchée n’est rien d’autre que la trace de la matrice .

Plus généralement, si on a affaire à une matrice A de , non nécessairement symétrique, la somme des carrés de ses éléments sera la trace du produit .

 

Interprétons alors A comme étant la matrice dans une base orthonormale  d’un endomorphisme autoadjoint  d’un espace vectoriel euclidien de dimension n.

 

L’endomorphisme  est diagonalisable (ses valeurs propres sont d’ailleurs notées ici  ) et on peut considérer une nouvelle base orthonormale  composées de vecteurs propres de A associés aux valeurs propres  dans cet ordre.

 

La matrice D de  dans la base  s’écrit :

 

 

 

Notons alors P la matrice de passage de  à . Il s’agit d’une matrice orthogonale et on a :

 

 

 

On a alors :

 

 

 

Puis :

 

 

 

Or, on a immédiatement :

 

 

 

D’où : .

 

Finalement :

 

 

 

Le résultat est ainsi établi.