Soit la matrice :
Diagonaliser A dans une base orthonormale (on vérifiera que la matrice de passage est orthogonale).
Analyse
La détermination des valeurs propres permet de construire
une base orthonormale de vecteurs propres. On vérifie alors que leurs
coordonnées sont les colonnes d’une matrice orthogonale de .
Résolution
Le polynôme caractéristique de A s’écrit :
Déterminons, pour chacune des valeurs propres obtenues, un vecteur propre unitaire.
On pose, pour la suite : .
Pour :
En choisissant ,
on obtient :
et donc :
.
On pose alors : .
Pour :
En choisissant ,
on obtient :
et donc :
.
On pose alors : .
Pour :
En choisissant ,
on obtient :
et donc :
.
On pose alors : .
La matrice de passage P s’écrit alors :
Et on a vérifie aisément que l’on a : .
On a : avec :
.
D’où :
Résultat final
La
matrice est diagonalisable dans la base
où
,
et
.
On a alors :