On remarque rapidement que la matrice A est symétrique. Ensuite, en interprétant A comme étant la matrice d’un endomorphisme f d’un espace vectoriel sur  de dimension n, on obtient facilement  et une discussion en découle.

 

 

 

On a immédiatement, pour tout couple  d’indices : .

La matrice A est donc symétrique. Comme elle est à coefficients réels, elle est diagonalisable.

 

 

 

Considérons alors A comme la matrice d’un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien de dimension n dans une base  orthonormale.

 

On peut s’aider de :

 

 

 

On constate ainsi que la jème colonne est égale à la colonne  multipliée par .

Considérons alors le vecteur .

 

D’après ce qui précède, on a, pour tout indice j : .

 

On a donc immédiatement : .

 

On doit alors distinguer deux situations :

 

Si : , c'est-à-dire si tous les  sont nuls.

 

Dans ce cas, l’endomorphisme f est l’endomorphisme nul.

Il admet 0 comme seule valeur propre et l’espace propre associé est l’espace vectoriel considéré.

 

Si : , c'est-à-dire si au moins l’un des  est non nul.

 

Dans ce cas,  n’est pas réduit au vecteur nul.

 

Le noyau de f et son image sont orthogonaux. Le noyau  de f est ainsi l’orthogonal de . Il s’agit donc de l’hyperplan de vecteur normal , c'est-à-dire d’équation :

 

 

 

Par ailleurs, comme  est non nul et que , il s’agit d’un vecteur propre. La valeur propre à laquelle il est associé peut être obtenue en calculant  :

 

 

 

On obtient comme valeur propre :  (on note qu’elle est bien non nulle puisque les  ne sont pas tous nuls).

 

En définitive, lorsque les l’un des  est non nul, f admet deux valeurs propres :

 

• 0 d’espace propre associé l’hyperplan d’équation
  
   (et donc de dimension
  
   ) ;
• 
  
  , d’espace propre associé
  
   (de dimension 1) où :
  
  .