Un exercice où des considérations linéaires et euclidiennes se mélangent allègrement !

La condition  est très forte et permet d’induire des résultats intéressants sur les noyaux (question 2.) et les images (questions 3. et 4.) des endomorphismes f et g.

 

 

 

 

Question 1.

 

 

On suppose donc ici : .

 

Pour tout vecteur x de E, on a alors :

 

 

On en déduit : .

 

 

On suppose maintenant que l’on a : .

 

Posons : .

Les endomorphismes  et  sont clairement autoadjoints. Il en va donc de même pour l’endomorphisme  : .

 

Par ailleurs, on a :

 

 

Soit alors x et  deux vecteurs quelconques de E.

D’après l’égalité que nous venons d’obtenir, on a : .

Or :

 

 

On en déduit alors : , soit : .

 

On a obtenu :  et . On en déduit : , c'est-à-dire :

 

 

Le résultat est ainsi établi.

 

De la double implication, on tire l’équivalence demandée.

 

 

Question 2.

 

On a :

 

 

D’où : .

 

 

Question 3.

 

Soit y un vecteur de .

Soit alors x et  deux vecteurs de . On a donc : .

Il vient :

 

 

On en déduit ainsi tous les vecteurs de  admettent par g la même image qui ne dépend que de y et que l’on peut écrire :  :

 

 

 

Question 4.

 

D’après la question précédente, h définit bien une application de  dans .

 

Montrons, dans un premier temps, que h est linéaire.

 

Soit y et  dans  et soit  et  deux réels. On s’intéresse à .

Soit x et  respectivement dans  et dans .

On a  et .

Donc , soit : .

On a alors : .

 

L’application h est bien linéaire et il nous reste désormais à montrer qu’il s’agit d’une isométrie.

 

Soit y un vecteur de  et soit x dans .

On a : .

 

Le résultat est ainsi établi.