Soit E un espace euclidien .
Soit une base non orthonormée de E. On note G la
matrice de Gram de la famille
.
Soit f un
endomorphisme de E et M sa matrice dans la base .
1. Montrer que f
est autoadjoint si, et seulement si : .
2. Montrer que f
est orthogonal si, et seulement si : .
Analyse
On peut s’intéresser à un élément quelconque des matrices ,
et
respectivement. Un tel élément peut être
exprimé sous forme d’un produit scalaire simple. On caractérise facilement le
fait que f soit autoadjoint ou orthogonal en raisonnant sur les vecteurs
de la base
.
Les relations entre les matrices en découlent.
Résolution
Question 1.
Nous commençons par introduire les notations suivantes :
,
,
et
On a alors pour tout i et
tout j dans :
Et :
On en déduit alors :
f autoadjoint
Le résultat est ainsi établi.
Question 2.
Nous posons cette fois :
,
,
et
Comme : on a, pour tout i et tout j dans
:
On en déduit alors :
f orthogonal
Le résultat est ainsi établi.