Soit a appartenant à .
Soit la fonction impaire,
périodique et telle que :
Déterminer les coefficients
de Fourier de et en déduire la valeur de :
Analyse
Le calcul des coefficients de Fourier est simple et on doit bien sûr tenir compte du fait que la fonction f est impaire.
Résolution
La fonction étant impaire, on a immédiatement :
.
Pour ce qui est du calcul des ,
on a pour tout entier naturel n non nul :
Chaque intégrale se calcule à l’aide d’une intégration par partie :
Il vient alors :
La fonction étant continue et
par morceaux (elle est
sur tout intervalle de la forme
ou
), elle est égale à sa série de Fourier :
En particulier, pour ,
on obtient :
.
Or, on a également : .
On en tire, finalement :
Soit :
Remarque : pour ,
on obtient
et
.
On a ainsi retrouvé le résultat classique :
Résultat final
Pour ,
la fonction
impaire et
périodique vérifiant :
est égale à sa série de Fourier :
On en tire :