Soit les fonctions f
et g périodiques, régulières et telles que, pour
tout x de l’intervalle
:
et
1. Déterminer les coefficients de Fourier de f et g ;
2. Vers quelles fonctions convergent les séries de Fourier correspondantes ?
3. Déduire des questions précédentes les sommes :
et
Analyse
Le calcul des coefficients de Fourier peut être facilité en tenant compte de la forme des fonctions proposées.
Résolution
Question 1
La forme des fonctions f et g suggère de travailler avec les coefficients complexes :
En tenant compte de : ,
il vient alors :
Il vient alors :
Et, pour tout entier naturel non nul :
Finalement :
Pour ce qui est de la fonction g :
D’où :
Finalement :
Question 2.
Les fonctions f et g étant périodiques, continues par morceaux et
régulières, les séries de Fourier correspondant aux coefficients obtenus à la
question précédente convergent vers f et g.
Question 3.
D’après la question précédente, on a :
Pour ,
on a :
.
En tenant compte de la définition de f, il
vient : et
.
D’où : .
Or, pour ,
le développement en série de Fourier de f nous donne :
On en tire :
Soit :
On procède de façon analogue avec la fonction g :
Pour ,
on a :
.
En tenant compte de la définition de g, il
vient : et
.
D’où : .
Or, pour ,
le développement en série de Fourier de g nous donne :
En tenant compte de et de
,
il vient alors :
Or : .
D’où :
Alors :
Résultat final
Les fonctions f et g
périodiques, régulières et telles que pour
tout x de l’intervalle
:
et
sont égales à leur série de Fourier :
On en tire alors :