Le calcul des coefficients de Fourier est simple et on doit bien sûr tenir compte du fait que la fonction f est impaire.

 

 

 

La fonction f étant impaire, on a immédiatement : .

Par ailleurs, la fonction f est clairement continue sur  (elle est polynômiale sur tout intervalle de la forme  (  ) et on a : .

Enfin, on montre facilement que f est de classe  sur  (elle est  par morceaux car polynômiale sur tout intervalle de la forme  et on montre facilement qu’elle est dérivable en tout  ).

 

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous la courbe représentative de la fonction f pour x dans l’intervalle  :

 

 

Figure 1. La courbe représentative de la fonction f pour x dans .

 

 

Pour ce qui est du calcul des , on a pour tout entier naturel n non nul en tenant compte du fait que la fonction f est impaire :

 

 

 

On procède alors à trois intégrations par parties successives :

 

 

 

 

 

La fonction f étant continue et de classe  sur , elle est égale à sa série de Fourier :

 

 

 

A titre de complément, nous avons complété la figure 1 par les courbes représentatives des fonctions définies sur  par :

 

 (pointillés bleus)

 (pointillés verts)

 (pointillés noirs)

 

Remarque : nous avons modifié l’échelle graphique sur l’axe des ordonnées et limité les variations de x à l’intervalle  pour rendre la figure plus lisible.

 

 

Figure 1. Les courbes représentatives des fonctions f, ,  et  pour x dans .

 

 

En particulier, pour , on obtient : .

Seuls les termes de rang impair sont non nuls et on obtient :

 

 

 

Or, on a également : .

 

On en tire alors :

 

 

 

Soit, finalement :

 

 

 

 

Pour tout entier naturel n non nul, on a : .

On a donc : .

Or, l’égalité de Parseval donne ici :

 

 

 

On a :

 

 

 

On en déduit alors :