Soit P un élément de et f la fonction de deux variables
réelles à valeurs dans
définie par :
Montrer que le laplacien de f est nul, c'est-à-dire :
Analyse
La fonction f est une fonction de dans
,
composée de
et de
,
toutes deux de classe
(et même de classe
…).
Résolution
Avec les notations ci-dessus, on a immédiatement :
et
Pour ce qui est des dérivées premières de f, on a alors :
Et :
Il vient alors :
Et :
Il vient finalement :
Le résultat est ainsi établi.
Remarque : on dit d’une fonction de classe dont le laplacien est nul qu’elle est
« harmonique ». L’équation
,
où «
»
désigne le laplacien de la fonction f, est appelée « équation de
Laplace ».
Résultat final
Pour tout polynôme P de ,
le laplacien de la fonction f définie sur
à valeurs dans
par :
est nul.