Soit de classe
et soit
définie par :
On considère le laplacien de f :
.
1. Exprimer ,
,
et
en fonctions des dérivées partielles de f ;
2. Exprimer alors le laplacien de f en fonction des dérivées partielles de g.
Analyse
L’exercice (et le calcul) est classique et s’apparente à un résultat de cours (qu’il n’est pas nécessaire de connaître par cœur !). L’expression obtenue à la question 2 permet de calculer le laplacien d’une fonction après passage en coordonnées polaire.
Résolution
Question 1.
On a (dérivation d’une composée) :
La fonction f étant de classe ,
le théorème de Schwarz s’applique et on a :
Et :
On a donc :
Question 2.
En additionnant et
on obtient :
On a donc : .
Soit : .
Finalement ( ) :
Résultat final
Pour une fonction f
de classe de
dans
,
le laplacien en coordonnées polaires se calcule comme suit :