La fonction f est de classe  sur . On procède classiquement en commençant par déterminer les points critiques puis en déterminant leur nature à l’aie des dérivées partielles du second ordre.

 

 

 

On a facilement :

 

 

 

Et

 

 

 

Le point  est un point critique si, et seulement si, on a : .

 

D’après les calculs précédents :

 

 

 

Si , la deuxième équation est vérifiée et la première se récrit : . D’où :  ou . On obtient ainsi deux points critiques :  et .

 

Si , la première équation est vérifiée et la deuxième équation se récrit : . D’où :  ou . On retrouve le point critique  et on obtient un troisième point critique .

 

Enfin, si  et , on a :

 

 

 

On obtient facilement : .

D’où le quatrième point critique : .

 

En utilisant les notations de Monge, on a :

 

 

 

 

 

Il vient donc :

 

 

 

En  : .

Comme , on en déduit immédiatement que  est un point col.

 

En  : .

Ici encore, nous concluons immédiatement qu’il s’agit d’un point col.

 

Les variables x et y jouant des rôles symétriques, nous concluons à l’identique pour le point critique .

 

Enfin, en  : .

Comme , nous avons affaire à un extremum local.

Le signe de r est celui de y, soit négatif. On en déduit que le point  est un maximum local.