La fonction f est de classe  sur . On vérifie, grâce aux dérivées partielles du premier ordre que le point fourni est effectivement un point critique et on établit ensuite que c’est le seul. Pour en déterminer la nature, nous utilisons classiquement les dérivées partielles du 2^ème ordre.

 

 

 

On a facilement :

 

 

 

Et

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 et  

 

Le point  est bien un point critique.

 

On a :

 

 

 

La seconde égalité entraîne d’abord la non nullité de x. Plus précisément, si cette seconde équation admet un couple solution , on a nécessairement :  (sans quoi, la quantité  est strictement positive).

 

On tire alors de cette seconde équation :  et la première équation se récrit : . Soit : . Ce qui équivaut, l’exponentielle ne pouvant être nulle, à : .

 

La seconde équation donne donc enfin : .

 

On a vérifié que cette équation admettait  comme solution. Pour établir qu’il n’y en a pas d’autre, nous allons étudier la fonction  définie sur  par :

 

 

 

On a : .

Pour tout x réel non nul, et à fortiori strictement négatif, on a : .

Pour tout x réel strictement négatif, on a : .

On en déduit finalement : pour tout x réel strictement négatif, .

La fonction  est donc strictement croissante sur .

 

On a : , d’où : .

Par ailleurs : .

Finalement : .

 

On a : , d’où : .

Par ailleurs : .

Finalement : .

 

La fonction  définie donc une bijection de  dans .

 

On en déduit qu’il existe un unique réel strictement négatif  tel que . Comme , on a immédiatement .

 

L’équation  admet bien une unique solution : -1.

 

La relation  nous donne alors immédiatement : .

 

Finalement :

 

 

 

 

 

 

 

En utilisant les notations de Monge, on a :

 

 

 

 

 

Il vient donc :

 

 

 

En  : .

Comme , on en déduit immédiatement que  est un point col.

 

 

 

 

 

 

 

 

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de la surface d’équation  pour x et y variant dans l’intervalle .