La fonction f est de classe  sur . L’annulation des dérivées partielles du premier ordre fournit deux points critiques et on en détermine la nature en utilisant classiquement les dérivées partielles du 2^ème ordre.

 

 

 

On a facilement :

 

 

 

Et :

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 

Les exponentielles étant strictement positives, on a nécessairement :  et .

 

Par ailleurs, si  alors  (et réciproquement) et les deux équations sont vérifiées.

 

Le point  est donc un point critique de la fonction f.

 

Nous cherchons maintenant des solutions  telles que  et .

 

On a, dans ces conditions (division membre à membre des deux égalités) :

 

 

 

Soit : .

 

Il vient alors : .

 

Soit alors la fonction  définie sur  par :

 

 

 

On a : .

 

Pour tout x réel strictement négatif, on a :  et .

On en déduit alors : pour tout x réel strictement négatif, .

La fonction  est donc strictement décroissante sur .

 

On a : , d’où : .

Par ailleurs :  et . D’où : .

Finalement : .

 

On a : , d’où : .

Par ailleurs :  et . D’où : .

Finalement : .

 

La fonction  définie donc une bijection de  dans .

 

On en déduit qu’il existe un unique réel strictement négatif  tel que .

 

Les variables x et y jouant des rôles symétriques, on peut chercher une solution du système sous la forme . Comme , il vient .

Comme x est strictement négatif, il vient . On a donc .

 

 

 

 

 

En utilisant les notations de Monge, on a :

 

 

 

 

 

En  :

 

 

 

 

 

D’où : .

Comme , on en déduit immédiatement que la fonction f admet en  un minimum local.

On a :  et . On en déduit que la fonction f admet en  un minimum global.

 

En  :

 

 

 

 

 

D’où : .

Comme , on en déduit immédiatement que la fonction f admet en  un point col.

 

 

 

 

 

 

 

 

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de la surface d’équation  pour x et y variant dans l’intervalle .