On doit rapidement distinguer différentes situations résultant de la comparaison de x et . Dans la situation d’égalité, le calcul des éventuelles dérivées partielles requiert de revenir à la définition (usage des fonctions partielles).

 

 

 

La figure ci-dessous illustre la discussion que nous devons mener :

 

 

 

 

Pour tout couple  tel que  (on se situe, sur la figure, à l’extérieur de la zone bleue), on a :  et il vient immédiatement :

 

 et  

 

Pour tout couple  tel que  (on se situe cette fois, dans de la zone bleue), on a :  et il vient immédiatement :

 

 et  

 

Plaçons-nous désormais en un point  (on se place donc en un point de la parabole d’équation  ).

 

Revenons à la définition de . Si elle existe, il s’agit de : .

 

Or, on a :

• Pour
  
   :
  
   ;
• Pour
  
   :
  
  .

 

On a donc : .

 

La fonction f n’admet pas de dérivée partielle suivant la première variable en .

 

 

Nous procédons de façon similaire pour  et nous intéressons de fait à : .

On a : .

Nous nous intéressons donc au signe du produit .

Pour h suffisamment petit, la somme  est du signe de , c'est-à-dire de a.

 

Ici encore, on va distinguer plusieurs cas :

 

 

Pour h suffisamment petit strictement positif on a :  et .

Pour h suffisamment petit (en valeur absolue) strictement négatif on a :  et .

 

Dans ce cas, la fonction f n’admet pas de dérivée partielle par rapport à la seconde variable en .

 

 

Pour h suffisamment petit strictement positif on a cette fois :  et .

Pour h suffisamment petit (en valeur absolue) strictement négatif on a cette fois :

 et .

 

Dans ce cas, la fonction f n’admet pas de dérivée partielle par rapport à la seconde variable en .

 

 

 et  d’où : .

 

Ici, on a donc : .