Soit un anneau commutatif et B un
sous-ensemble de A.
On appelle « annulateur
de B », noté ,
le sous-ensemble de A :
Montrer que est un idéal de A.
Analyse
L’exercice ne présente pas de difficultés particulières. On utilise la définition d’un idéal d’un anneau et on est conduit à utiliser certaines propriétés des lois de l’anneau (distributivité, associativité).
Résolution
Si on note + et les lois de A, nous allons, dans un
premier temps, montrer que
est un sous-groupe de
.
- est non vide carappartient à.
En effet, pour n’importe quel
élément b de B, on a immédiatement : .
- Soit
maintenant a et deux éléments de. Montrons queest également un élément de.
Pour tout élément b de B,
on a : .
Le résultat est ainsi établi.
De ce qui précède, on conclut que est bien un sous-groupe de
.
On va maintenant montrer que pour tout a de et tout x de A,
est encore un élément de
.
On considère donc un élément quelconque a de .
Pour tout x de A et tout b de B,
on a alors : .
L’élément est bien un élément de
.
En résumé :
- est un sous-groupe de;
- .
On peut alors conclure que est un idéal de A.
Résultat final
Pour
tout anneau commutatif et tout sous-ensemble B de A, le
sous-ensemble
est un idéal de A, appelé « annulateur de B ».