Soit un anneau commutatif.
On dit d’un idéal I de A qu’il est « premier » s’il vérifie :
L’objectif est ici de démontrer que tout anneau commutatif dont tous les idéaux sont premiers est un corps.
On suppose donc que tous les idéaux de A sont premiers.
1. Démontrer que A est intègre ;
2. Soit a
un élément non nul de A. Démontrer que les idéaux engendrés par a
et sont égaux. En déduire alors que a est
inversible et conclure.
Analyse
Un exercice mettant en œuvre quelques notions fondamentales relatives aux anneaux et aux idéaux.
Résolution
1. Soit x et y deux éléments de A. Supposons que l’on
ait : .
L’ensemble est un idéal de A. Par hypothèse, il
est premier. On en déduit donc :
ou
.
C'est-à-dire :
ou
.
L’anneau A est bien intègre.
L’anneau A est intègre.
2. Notons et
les idéaux respectivement engendrés par a
et
.
Pour établir l’égalité
,
il suffit d’établir :
et
.
La deuxième appartenance ne pose
pas de difficulté particulière. étant un idéal de A, on a, par
définition d’un idéal :
.
En choisissant en particulier
,
on obtient :
.
Pour établir la deuxième
appartenance, nous allons utiliser le fait que l’idéal est premier. On a en effet :
,
c'est-à-dire :
.
L’idéal
étant premier, on en tire :
ou
,
c'est-à-dire :
.
Comme et
,
il vient :
.
Le résultat est ainsi établi.
Pour
tout élément a non nul de A, les idéaux engendrés par a et
sont égaux.
Puisque a appartient à
l’idéal ,
on peut affirmer qu’il existe un élément b de A tel que :
.
Soit :
,
d’où :
.
Or, à la question précédente,
nous avons établi que l’anneau A était intègre. On en déduit : ou
.
L’élément a considéré étant non nul, il vient :
.
On en tire que a est inversible d’inverse l’élément b.
Tout élément non nul de A est inversible.
Puisque tout élément non nul de A est inversible, on en déduit finalement :
est un corps.
Résultat final
Tout
anneau commutatif dont tous les idéaux sont premiers est un
corps.