Soit un anneau. On dit que A est
« booléen » (ou que « A est un anneau de Boole ») si
pour tout a de A, on a :
.
Soit E un ensemble et
l’ensemble de ses parties.
Montrer que est un anneau booléen.
(on rappelle que la loi ,
appelée « différence symétrique », est définie par :
)
Analyse
Un exercice classique faisant essentiellement appel aux définitions fondamentales des structures de groupes et d’anneaux et nécessitant un peu de manipulations (union, intersection, complémentaire) sur les parties d’un ensemble.
Résolution
On a immédiatement : .
Il suffit donc d’établir que est un anneau.
Commençons par établir que est un groupe (commutatif …).
- puisque.
- La
loi est clairement commutative :
- La
loi est-elle associative ?
Pour toutes parties X, Y
et Z de E, il nous faut comparer : et
.
Pour pouvoir simplifier cette
écriture, nous allons considérer une autre expression de la différence
symétrique. En notant le complémentaire de X dans E,
on a (en utilisant les propriétés classiques de l’intersection et de la réunion) :
On en déduit :
Il convient désormais
d’évaluer : ,
soit, la loi
étant commutative :
.
On peut utiliser le résultat obtenu précédemment : il suffit de remplacer X par Y, Y par Z et Z par X. Nous n’avons en fait pas besoin d’écrire le résultat pour affirmer qu’il y aura égalité.
En effet, l’expression obtenue ci-dessus :
est invariante pour toute
permutation de l’ensemble (i.e. toute bijection de cet ensemble dans
lui-même).
On a bien :
- est neutre pour.
En effet : et
.
On en déduit alors :
- Toute
partie X de E est son propre symétrique pour :
En définitive, nous pouvons affirmer, d’après ce qui précède,
que est un groupe commutatif.
Il convient maintenant de prendre en compte la deuxième loi, c'est-à-dire l’intersection.
- est associative ;
- est commutative ;
- admet comme éléments neutre l’ensemble E.
En effet : .
- est-elle distributive par rapport à?
Pour toutes parties X, Y
et Z de E, il convient de comparer : et
.
On a :
Et par ailleurs :
On a ainsi retrouvé le résultat obtenu précédemment.
En définitive, nous pouvons conclure que est un anneau commutatif.
Résultat final
Pour
tout ensemble E, est un anneau commutatif.