Analyse
Un exercice très
classique qui passe en revue les principales propriétés du radical d’un idéal
dans un anneau.
Résolution
Question 1.
Tout d’abord,
comme 
,
on en déduit que 0 appartient à qui est donc non vide.
Dans un second
temps, il convient d’établir que est un sous-groupe de .
Considérons x
et y deux éléments quelconques de .
Il existe donc, par définition de ,
deux entiers naturels n et m tels que et soient deux éléments de I.
Soit
alors .
L’anneau A étant commutatif, on a :
Comme
(respectivement ) appartient à I, il en va
immédiatement de même pour toute puissance de x (respectivement y)
d’exposant supérieur à m (respectivement n). On récrit alors la
somme comme suit :
Dans la première
somme, toutes les puissances appartiennent à I. Comme c’est un idéal
de A, il en va de même pour les produits .
Dans la seconde
somme, toutes les puissances appartiennent à I. comme c’est un idéal
de A, il en va de même pour les produits .
En définitive,
tous les termes de la somme appartiennent à I et finalement appartient à I.
On en déduit
ainsi que appartient à I. est bien un sous-groupe de .
Soit
maintenant x un élément quelconque de .
Il existe donc un entier naturel n tel que appartient à I. Pour tout élément a
de A, on a alors :
Comme appartient à I, idéal de A, on
en tire immédiatement que ,
c'est-à-dire ,
appartient à I. En définitive, appartient à .
est un idéal de A.
Question 2.
Pour tout idéal I
de A et pour tout x de I, on a : .
On en déduit immédiatement : .
D’où : .
Comme nous avons
montré, à la question précédente, que était un idéal de A, l’inclusion précédente
s’applique à et il vient immédiatement : .
Soit maintenant x
un élément de .
Par définition, il existe un entier naturel n tel que .
Mais il existe alors un deuxième entier naturel, m, tel que : .
On en conclut que x appartient à .
On a donc : .
La double
inclusion fournit l’égalité.
Pour tout idéal I de A, on
a :
Question 3.
Soit I et
J deux idéaux de A.
Soit x
dans .
Par définition, il existe deux entiers n et m tels que appartient à I et appartient à J. Alors appartient à I et appartient à J ;
c'est-à-dire : appartient à .
On en déduit alors que x appartient à .
On a donc :
.
Soit maintenant x
un élément de .
Il existe donc un entier naturel n tel que appartient à .
appartenant à I, on en déduit que x
appartient à ;
appartenant à J, on en déduit que x
appartient à .
En définitive, x appartient à .
On a donc :
.
La double
inclusion fournit l’égalité.
Pour tous idéaux I et J de A,
on a :
Question 4.
Soit x
dans .
On peut donc écrire : avec y appartenant à et z appartenant à .
Il existe donc deux entiers naturels n et m tels que (et, de fait, I étant un idéal, toute
puissance de y d’exposant supérieur à n) appartient à I et
appartient à J (et, de fait, J
étant un idéal, toute puissance de z d’exposant supérieur à m).
De
façon analogue à ce qui a été fait à la première question, on a :
Dans la première
somme, toutes les puissances appartiennent à J (car ). Comme c’est un idéal de A, il en va
de même pour les produits .
Dans la seconde
somme, toutes les puissances appartiennent à I (car ). comme c’est un idéal de A, il en va
de même pour les produits .
En définitive, la
somme appartient à .
On en déduit immédiatement que l’élément appartient à .
Pour tous idéaux I et J de A,
on a :
Question 5.
Notons d’abord
que toute puissance (d’exposant un entier naturel) d’un entier admet les mêmes
diviseurs premiers que cet entier (s vaut 1 ou suivant que l’entier est positif ou négatif.
Les sont des entiers naturels supérieurs à 1) :
On a aussi :
.
De ce qui
précède, on déduit qu’une condition nécessaire pour qu’une puissance d’un
entier soit un multiple de 15 288 est que l’entier admette au moins 2, 3,
7 et 13 comme diviseurs premiers. En d’autres termes, l’entier doit être un
multiple de ,
c'est-à-dire appartenir à .
Montrons que
cette condition est suffisante.
Soit
x un entier dans .
On peut écrire :
On
a alors :
Soit : .
Finalement :
.